Question

已知函数f（x）=x²+1，若存在x∈R，使得不等式f²（x）+x[f（x）+x]-af（x）[f（x）+x]≤0成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：把f（x）=x²+1，代入化简，分离参数得a≥

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

，构造函数g（x）=

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

，求出函数g（x）的最小值即可．

解答： 解：∵f（x）=x²+1，f²（x）+x[f（x）+x]-af（x）[f（x）+x]≤0成立，
∴（x²+1）²+x（x²+1+x）-a（x²+1）（x²+1+x）≤0，
∵x²+1＞0，x²+1+x＞0，
∴a≥

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

在x∈R，恒成立
设g（x）=

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

，
则g′（x）=

x2-1

(x2+x+1)2

+

1-x2

(x2+1)2

=（x²-1）（

1

(x2+x+1)2

-

1

(x2+1)2

）=（x²-1）（

1

x2+x+1

+

1

x2+1

）（

1

x2+x+1

-

1

x2+1

）
=-x（x²-1）（

1

x2+x+1

+

1

x2+1

）（

1

(x2+x+1)(x2+1)

），
令g′（x）=0，解得x=0，x=1，x=-1，
当g′（x）＞0，解得x＜-1，或0＜x＜1，函数递增，
当g′（x）＜0，解得x＞1，或-1＜x＜0，函数递减，
所以当x=0时函数有极小值，
又∵g（x）=0的解为只有一个x=0
∴x=0是函数的最小值
g（0）=1
∴a≥1，
故答案为[1，+∞）

点评：本题考查了函数恒成立的问题，方法是分离参数，利用导数求出函数的最大值，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题