Question

将（1+

1

3

x）ⁿ展开式的各项依次记为a₁（x），a₂（x），a₃（x），…，a_n（x），a_n+1（x），设F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x）+…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（1）是否存在n∈N^*，使得a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数成等比数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
（2）求证：对任意x₁，x₂∈[0，3]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|＜2^n-1（n+2）．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,数列与函数的综合,二项式定理的应用

专题：函数的性质及应用,二项式定理

分析：（1）由题意可得 a_k（x）=a_k（x）=

C

k-1 n

•(

1

3

)k-1，求得a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数，根据前三项的系数成等比数列求得n的值，问题得以解决
（2）先利用到序相加法求出F（3）-F（0）的值，利用导数判断出函数的单调性，即可得证．

解答： 解：（1）由题意得，a_k（x）=

C

k-1 n

•(

1

3

)k-1•k=1、2、3，…n+1，
故a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次为

C

0 n

=1，

C

1 n

•

1

3

=

n

3

，

C

2 n

•(

1

3

)2=

n(n-1)

18

，
∵a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数成等比数列，
∴

n

3

×

n

3

=1×

n(n-1)

18

，
解得 n=-1，或n=0，
∵n∈N^*，
∴n的值不存在
（2）∵F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）
=

C

0 n

+2

C

1 n

•

1

3

x+3C_n²（

1

3

x）²+…+（n+1）C_nⁿ（

1

3

x）ⁿ，
∴F（3）=

C

0 n

+2

C

1 n

+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ，
设S_n=

C

0 n

+2

C

1 n

+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ，
则有S_n=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1+…+3C_n²+2

C

1 n

+C_n⁰，
将以上两个式子相加，并利用C_n^k=C_n^n-k，
可得2S_n=（n+2）（

C

0 n

+

C

1 n

+C_n²+…+C_nⁿ）=（n+2）•2ⁿ，
∴S_n=（n+2）•2^n-1，
所以S_n=（n+2）2^n-1
所以F（3）-F（0）=（n+2）2^n-1-1
又当x∈[0，3]时，F'（x）≥0恒成立，从而F（x）是[0，3]上的单调递增函数，
所以对任意x₁，x₂∈[0，3]，|F（x₁）-F（x₂）|≤F（3）-F（0）=（n+2）2^n-1-1＜（n+2）2^n-1．

点评：本题主要考查等差数列的性质，二项式定理的应用，二项式系数的性质，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，属于中档题．