Question

有下列四个命题：
①

a

与

b

的夹角为锐角的充要条件是

a

•

b

＞0．
②?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
③?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=a^1-2x+1都恒过定点(

1

2

，2)；
④方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D²+E²-4F≥0；
其中正确命题的序号是

②③

．（将正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①若非零向量

a

与

b

的夹角为锐角，则一定有

a

•

b

＞0，；反之，满足

a

•

b

＞0的

a

与

b

同向共线时，其

a

与

b

夹角为0°，却不是锐角，故可以判断①真假．
②取x=y=0时，可以判断出②的真假．
③当x=

1

2

时，其函数值f（

1

2

）=2与a无关，故可以判断函数f（x）=a^1-2x+1都恒过定点(

1

2

，2)，由此可以判断③真假．
④方程x²+y²+Dx+Ey+F=0经配方可化为：(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，有此式可以判断出方程x²+y²+Dx+Ey+F=0何时表示圆，进而可知④的真假．

解答：解：①若非零向量

a

与

b

的夹角为锐角，则

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞＞0；反之，当

a

与

b

同向共线时，满足

a

•

b

＞0，则向量

a

与

b

夹角为0°，却不是锐角，故①是假命题．
②当x=y=0时，该等式成立，故②是真命题．
③当x=

1

2

时，f（

1

2

）=2，，故对于?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=a^1-2x+1都恒过定点(

1

2

，2)，因此③是真命题；
④方程x²+y²+Dx+Ey+F=0经配方可化为：(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，只有当D²+E²-4F＞0时，方程x²+y²+Dx+Ey+F=0才表示圆，而当D²+E²-4F=0时该方程表示点（-

D

2

，-

E

2

）．故④是假命题．
故答案为②③．

点评：本题主要考查向量夹角公式、全称命题与特称命题、指数函数类型的图象过定点问题、圆的一般方程何时表示圆，解决问题的关键是准确掌握有关基础知识．