Question

（1）判断函数f（x）=在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？
（2）猜想函数在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）
（3）利用题（2）的结论，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围？

Answer 1

（1）解：函数f（x）=在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…（1分）
证明：设任意x₁＜x₂∈（0，+∞），则…（2分）
= …（3分）
又设x₁＜x₂∈（0，2]，则f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=在（0，2]上是减函数 …（4分）
又设x₁＜x₂∈[2，+∞），则f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）=在[2，+∞）上是增函数 …（5分）
（2）解：由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在和上是增函数，f（x）在和上是减函数 …（7分）
（3）解：∵在x∈[1，5]上恒成立
∴在x∈[1，5]上恒成立 …（8分）
由（2）中结论，可知函数在x∈[1，5]上的最大值为10，
此时x=1 …（10分）
要使原命题成立，当且仅当2m²-m＞10
∴2m²-m-10＞0 解得m＜-2，或
∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或} …（12分）
分析：（1）函数f（x）=在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，再利用单调性的定义进行证明即可；
（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在和上是增函数，f（x）在和上是减函数
（3）根据在x∈[1，5]上恒成立，可得在x∈[1，5]上恒成立 求出左边函数的最小值即可．
点评：本题重点考查函数的单调性的判定与证明，考查恒成立问题，解题的关键是利用单调性的定义，利用函数的最值解决恒成立问题．