设函数f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的最小值.
分析:本题第一问考查分段函数的奇偶性,用定义判断;第二问是求最值的题目:求最值时,先判断函数在相应定义域上的单调性,在根据单调性求出函数的最值.
解答:解:(1)f(x)=
若f(x)奇函数,则f(-x)=-f(x)所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.
∵f(0)=1≠0,
∴f(x)不是R上的奇函数.
又∵f(1)=1,f(-1)=3,f(1)≠f(-1),
∴f(x)不是偶函数.
故f(x)是非奇非偶的函数.
(2)当x≥2时,f(x)=x
2+x-3,为二次函数,对称轴为直线x=
-,
则f(x)为[2,+∞)上的增函数,此时f(x)
min=f(2)=3.
当x<2时,f(x)=x
2-x+1,为二次函数,对称轴为直线x=
则f(x)在(-∞,
)上为减函数,在[
,2)上为增函数,
此时f(x)
min=f(
)=
.
综上,f(x)
min=
.
点评:函数的奇偶性是高考常考的题目,而出的题目一般比较简单,常用定义法判断;函数的最值也是函数问题中常考的题目,一般先判断函数的单调性,在求最值,而学生往往忽略了判断单调性这一步.