Question

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，求实数m的值；
（2）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，即可求实数m的值；
（2）构造函数g（x）=x-2lnx，确定函数在[1，3]上的单调性，即可求实数a的取值范围；
（3）求得函数f（x）和函数h（x）在(0，

1

2

)单调递减；(

1

2

，+∞)单调递增，求导函数，即可得到结论．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²-mlnx，
∴切点为（1，1），f′(x)=2x-

m

x

，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，
∴k=f'（1）=1，即m=1
（2）f（x）-h（x）=0，等价于x²-2lnx=x²-x+a，即a=x-2lnx
令g（x）=x-2lnx，则g′(x)=1-

2

x

=

x-2

2

∴x∈[1，2]时，g′（x）≤0，函数g（x）=x-2lnx在[1，2]内单调递减；x∈[2，3]时，g′（x）≥0，函数g（x）=x-2lnx在[2，3]内单调递增．
又因为g（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3
故2-2ln2＜a≤3-2ln3
（3）∵h（x）=x²-x+a在(0，

1

2

)单调递减；(

1

2

，+∞)单调递增
∴f（x）=x²-mlnx也应在(0，

1

2

)单调递减；(

1

2

，+∞)单调递增
∵f′(x)=2x-

m

x

=

2x2-m

x

，
∴当m≤0时，f（x）=x²-mlnx在（0，+∞）单调递增，不满足条件；当m＞0且

m 2

=

1

2

，即m=

1

2

，函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．