Question

已知点A(

2

，0)，动点M，N满足

OA

+

OM

=2

ON

，其中O是坐标原点，若KAM•K ON=-

1

2

（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个共公点，且l₁⊥l₂，求h的值．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），可得AM的中点为N(

x+ 2

2

，

y

2

)，利用直线的斜率公式结合题意建立关于x、y的方程，化简整理即可得到所求点M的轨迹E的方程；
（2）设存在直线l₁符合题意，其方程y=kx+h，与轨迹E的方程联解得到关于x的一元二次方程，由l₁与E只有一个交点得△=0，由此建立关于k、h的等式并化简整理得1+2k²=h²．由l₁⊥l₂利用同样的方法算出1+

2

k2

=h2，两式联解算出h=

3

．再由轨迹E的对称性及直线l₁、l₂的方程得当l₁、l₂分别过点(-

2

，0)、(

2

，0)时，h=

2

也满足条件．综上所述，可得满足条件的h值为

2

或

3

．

解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），
∵A(

2

，0)，且

OA

+

OM

=2

ON

，∴N为AM的中点，得N(

x+ 2

2

，

y

2

)，
由此可得kAM=

y

x- 2

，kON=

y

x+ 2

，(x≠±

2

)，
∵kAM•k ON=-

1

2

，∴代入化简，可得

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)，即为点M的轨迹E的方程；
（2）假设直线的斜率k存在，设直线l₁的方程为：y=kx+h，
则由l₁⊥l₂，可得l2：y=-

1

k

x+h．
将l₁：y=kx+h代入

x2

2

+y2=1，可得

x2

2

+(kx+h)2=1，
化简得（1+2k²）x²+4khx+2h²-2=0，
∵l₁与E只有一个交点，∴△=16k²h²-4（1+2k²）（2h²-2）=0，化简得1+2k²=h²． …①
同理由l₂与E只有一个交点，可得1+2•

1

k2

=h2，…②
由①②消去h²，得

1

k2

=k2即k²=1，从而得出h²=1+2k²=3，
∵h＞1，∴h=

3

．
由对称性及直线l₁、l₂：y=±x+h分别过点(-

2

，0)，(

2

，0)，可得h=

2

也满足要求．
综上所述，所求的h值为

2

或

3

．

点评：本题给出动点M满足的条件，求动点M的轨迹E的方程并探索直线方程存在与否．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆锥曲线的位置关系和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．