Question

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．
（I）证明：BC⊥平面AMN；
（II）求三棱锥N-AMC的体积；
（III）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，
∴AB=BC
又∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，
又M为BC中点，∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
（II）∵S△AMC=

1

2

AM•CM=

1

2

×

3

×1=

3

2

又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1
∴三棱锥N-AMC的体积V=

1

3

S_△AMC•AN
=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

（III）存在点E，
取PD中点E，连接NE，EC，AE，
∵N，E分别为PA，PD中点，
∴NE

∥ .

.

1

2

AD
又在菱形ABCD中，CM

∥ .

.

1

2

AD
∴NE

∥ .

.

MC，即MCEN是平行四边形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，
此时PE=

1

2

PD=

2

．