Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]．
（1）求|

a

-

b

|
（2）设函数f（x）=|

a

-

b

|+

a

•

b

，求函数f（x）的最值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用模长公式，结合和角的余弦公式，可求|

a

-

b

|；
（2）利用二倍角公式，结合配方法，可求函数f（x）的最值及相应的x的值．

解答：解：（1）∵

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
∴|

a

-

b

|=

2-2cos2x

∵x∈[0，

π

2

]，
∴|

a

-

b

|=2sinx；
（2）f(x)=2sinx+cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=2sinx+cos2x
=-2sin2x+2sinx+1=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

∵0≤x≤

π

2

，∴0≤sinx≤1
∴sinx=

1

2

，即x=

π

6

时，fmax(x)=

3

2

；sinx=1，即x=0或

π

2

时，f_min（x）=1．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．