Question

【题目】已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．

Answer 1

【答案】（1）an＝3n－2，bn＝2n；（2）(3n－4)2n＋2＋16.

【解析】

(1)根据题意设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，代入已知条件计算即可.

(2)由数列{an}和{bn}的通项公式写出数列{a2nbn}的前n项和，再利用错位相减法计算即可.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.

由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2

∴q2＋q－6＝0.

又∵q＞0，解得q＝2.

∴bn＝2n

由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①

由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②

联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.

∴{an}的通项公式为an＝3n－2，{bn}的通项公式为bn＝2n.

(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，有

Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，

2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1.

上述两式相减，得

.得Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.

∴数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16.