Question

当实数a，b变化时，直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0与直线m²x+2y-n²=0过同一个定点，记点（m，n）的轨迹为曲线C，P为曲线C上任意一点，若点Q（1，0），则PQ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：求出直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0过定点（-2，3），直线m²x+2y-n²=0也过定点（-2，3），将点坐标代入m²x+2y-n²=0，可得-2m²+6-n²=0，即点（m，n）在椭圆上，即可求出PQ的最大值．

解答： 解：∵（2a+b）x+（a+b）y+a-b=（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0，
若对于任意的a，b都成立，
∴

2x+y+1=0 x+y-1=0

，解得x=-2，y=3，
即直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0过定点（-2，3）．
因此直线m²x+2y-n²=0也过定点（-2，3），
将点坐标（-2，3）代入m²x+2y-n²=0，可得-2m²+6-n²=0，
即2m²+n²=6，n²=6-2m²，
即点（m，n）在椭圆

m2

3

+

n2

6

=1上．
则-

3

≤m≤

3

，
∵P为曲线C上任意一点，点Q（2，0），
∴|PQ|=

(m-2)2+n2

=

m2-4m+4+6-2m2

=

-m2-4m+10

=

-(m+2)2+14

，
y∵-

3

≤m≤

3

，
∴当m=-

3

时，|PQ|取得最大值，最大值为

7+4 3

=

( 3 +2)2

=2+

3

．
当m=

3

时，|PQ|取得最小值，最小值为

7-4 3

=

(2- 3 )2

=2-

3

故答案为：[2-

3

，2+

3

]．

点评：本题主要考查直线和圆的应用，利用直线过定点求出定点坐标，利用消元法求|PQ|的长度是解决本题的关键．