Question

（本小题满分14分）

设A(－2，0)，B(2，0)，M为平面上任一点，若|MA|＋|MB|为定值，且cosAMB的最小值为－.

(1)求M点轨迹C的方程；(2)过点N(3，0)的直线l与轨迹C及单位圆x²+y²=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|＝|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论.

Answer 1

(1) 曲线C的方程是=1 

解析:

解：(1)设M(x，y)，∵在△AMB中，AB＝4，|MA|＋|MB|是定值.

可设|MA|＋|MB|＝2a(a＞0).∴cosAMB=

=

=－1.     而|MA|＋|MB|≥2，

∴|MA|·|MB|≤a².∴－1≥－1.

∵cosAMB最小值为－，∴－1=－.∴a=.

∴|MA|+|MB|=2＞|AB|.∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a=，c=2.

∴b²=a²－c²=2.∴曲线C的方程是=1.       

(2)设直线l的方程是y＝k(x－3).

1°当k＝0时，显然有|PQ|＝|RS|；此时l的方程是y＝0.

2°当k≠0时，∵|PQ|＝|RS|，

∴PS与RQ的中点重合，设中点为G，则OG⊥PS.

由，得(1+3k²)x²－18k²x+27k²－6=0.                                   

设P(x₁，y₁)，S(x₂，y₂)，

则x₁+x₂=，y₁+y₂=k(x₁－3)+k(x₂－3)=.

∴G(，).    ∴×k=－1无解，此时l不存在，

综上，存在一条直线l：y＝0满足条件.