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    设向量
    e1
    ，
    e2
    满足|
    e1
    |=2，|
    e2
    |=1且
    e1
    ，
    e2
    的夹角为
    π
    3
    ，若向量2t
    e1
    +7
    e2
    与
    e1
    +t
    e2
    的夹角为非钝角，则实数t的取值范围是
    （-∞，-7）∪（-
    1
    2
    ，
    		14
    2
    ）∪（
    		14
    2
    ，+∞）
    （-∞，-7）∪（-
    1
    2
    ，
    		14
    2
    ）∪（
    		14
    2
    ，+∞）
    ．
    分析：题干错误：向量2t
    e1
    +7
    e2
    与
    e1
    +t
    e2
    的夹角为非钝角，可能是：向量2t
    e1
    +7
    e2
    与
    e1
    +t
    e2
    的夹角为钝角，

    由题意可得
    e1
    •
    e2
    =1，（2t
    e1
    +7
    e2
    ）•（
    e1
    +t
    e2
    ）＜0，且向量2t
    e1
    +7
    e2
    与
    e1
    +t
    e2
    不共线．由（2t
    e1
    +7
    e2
    ）•（
    e1
    +t
    e2
    ）＜0 求得 t的范围；
    由
    2t
    1
    ≠
    7
    t
    ，解得t的范围，再把这2个t的范围取交集，即得所求．
    解答：解：由题意可得
    e1
    •
    e2
    =2×1×cos
    π
    3
    =1，
    由于向量2t
    e1
    +7
    e2
    与
    e1
    +t
    e2
    的夹角为钝角，可得（2t
    e1
    +7
    e2
    ）•（
    e1
    +t
    e2
    ）＜0，且向量2t
    e1
    +7
    e2
    与
    e1
    +t
    e2
    不共线．
    由（2t
    e1
    +7
    e2
    ）•（
    e1
    +t
    e2
    ）＜0 可得 2t2+15t+7＜0，解得 t＜-7，或 t＞-
    1
    2
    ．
    再由向量2t
    e1
    +7
    e2
    与
    e1
    +t
    e2
    不共线，可得
    2t
    1
    ≠
    7
    t
    ，解得 t≠±
    		14
    2
    ．
    综上可得，实数t的取值范围是 （-∞，-7）∪（-
    1
    2
    ，
    		14
    2
    ）∪（
    		14
    2
    ，+∞），
    故答案为 （-∞，-7）∪（-
    1
    2
    ，
    		14
    2
    ）∪（
    		14
    2
    ，+∞）．
    点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设两向量e1、e2满足|
    e
    1    |=2，|
    e
    2    |=1，
    e
    1    、
    e
    2    的夹角为60°，若向量2t
    e
    1    +7
    e
    2    与向量
    e
    1    +t
    e
    2    的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•泰安二模）设单位向量
    e1
    ，
    e2
    满足
    e1
    •
    e2
    =-
    1
    2
    ，则|
    e1
    +2
    e2
    |    =
    		3
    		3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•洛阳二模）给出下列命题：
    ①设向量
    e1
    ，
    e2
    满足|
    e1
    |=2，|
    e2
    |=1，
    e1
    ，
    e2
    的夹角为
    π
    3
    ．若向量2t
    e1
    +7
    e2
    与
    e1
    +t
    e2
    的夹角为钝角，则实数t的取值范围是（-7，-
    1
    2
    ）；
    ②已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为s2=
    1
    4
    （x12+x22+x32+x42）-4，则x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均数为1
    ③设a，b，c分别为△ABC的角A，B，C的对边，则方程x2+2ax+b2=o与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°；
    ④若f（n）表示n2+1（n∈N）的各位上的数字之和，如112+1=122，1+2+2=5，所以f（n）=5，记f1（n）=f（n），f2（n）=f[f1（n）]，…fk+1（n）=f[fk（n）]，k∈N，则f20（5）=11．
    上面命题中，假命题的序号是
    ②
    ②
     （写出所有假命题的序号）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设两向量
    e1
    ，
    e2
    满足|
    e1
    |=2，|
    e2
    |=1，
    e1
    、
    e2
    的夹角为60°，
    （1）试求|3
    e1
    +
    e2
    |
    （2）若向量2t
    e1
    +7
    e2
    与向量
    e1
    +t
    e2
    的夹角余弦值为非负值，求实数t的取值范围．

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