Question

（2011•洛阳二模）给出下列命题：
①设向量

e1

，

e2

满足|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

，

e2

的夹角为

π

3

．若向量2t

e1

+7

e2

与

e1

+t

e2

的夹角为钝角，则实数t的取值范围是（-7，-

1

2

）；
②已知一组正数x₁，x₂，x₃，x₄的方差为s²=

1

4

（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²）-4，则x₁+1，x₂+1，x₃+1，x₄+1的平均数为1
③设a，b，c分别为△ABC的角A，B，C的对边，则方程x²+2ax+b²=o与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是A=90°；
④若f（n）表示n²+1（n∈N）的各位上的数字之和，如11²+1=122，1+2+2=5，所以f（n）=5，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f[f₁（n）]，…f_k+1（n）=f[f_k（n）]，k∈N，则f₂₀（5）=11．
上面命题中，假命题的序号是

②

 （写出所有假命题的序号）．

Answer 1

分析：①依据两向量夹角为钝角，得到其数量积小于零，即可得到；
②根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数；
③从充分性与必要性两方面给出证明；
④考查归纳猜想的能力及数列的周期性．

解答：解：①、由于向量2t

e1

+7

e2

与

e1

+t

e2

的夹角为钝角，则2t

e1

+7

e2

与

e1

+t

e2

的数量积小于0，
即2t²+15t+7＜0，解得-7＜t＜-

1

2

，故①正确；
②、由于s²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，
则s²=

1

4

[x₁²+x₂²+x₃²+x₄²-2（x₁+x₂+x₃+x₄）•

.

x

+4•

.

x

2]=

1

4

[（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²）-4

.

x

²]
=

1

4

（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²）-

.

x

2=

1

4

（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²）-4，所以

.

x

=2
对于数据x₁+1，x₂+1，x₃+1，x₄+1，x₅+1，则其平均数是

.

x

+1=3，故②错；
③由于方程x²+2ax+b²=o与x²+2cx-b²=0有公共根，不妨设为α，
则

α2+2aα+b2=0 α2+2cα-b2=0

①   ②

∴2α²+2α（a+c）=0．
∴α=-（a+c），将α=-（a+c）代入①得到：a²=b²+c²，∴∠A=90°
∵∠A=90°，∴a²=b²+c²，
于是方程x²+2ax+b²=0可化为x²+2ax+a²-c²=0，
即[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，所以该方程有两根x₁=-（a+c），x₂=-（a-c）．
同理方程x²+2cx-b²=0有两根x₃=-（a+c），x₄=-（c-a），发现x₁=x₃，
所以这两个方程有公共根．
综上可知，方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是A=90°，故③正确；
④由于5²=25，25+1=26，6+2=8，∴f₁（5）=f（5）=8；
8²=64，64+1=65，6+5=11，∴f₂（5）=11．
11²=121，121+1=122，1+2+2=5，∴f₃（5）=5；
5²=25，25+1=26，2+6=8，∴f₄（5）=8；
由此猜想{f_k（5）}是一个周期为3的数列，而3×8+2=20
所以f₂₀（5）=f₂（5）=11，故④正确．
故答案为②

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，分别考查了数量积，方差，充要条件及数列的相关知识，我们需对四个结论逐一进行判断，方可得到正确的结论．