Question

（2011•洛阳二模）设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）若关于x的不等式a≥f（x）存在实数解，求实数a的取值范围；
（2）若?x∈R，f（x）≥-t²-

5

2

t-1恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式，利用单调性求出函数f（x）的最小值等于-

5

2

，由此可得实数a的取值范围．
（2）由?x∈R，f（x）≥-t²-

5

2

t-1恒成立，可得-

5

2

≥-t²-

5

2

t-1，由此解得 t的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|-|x-2|=

-x-3 ，  x≤- 1 2 3x-1  ， - 1 2 ＜x＜2 x+3  ，  x≥2

，
∴f_min（x）=f（-

1

2

）=-

5

2

．
由题意可得a≥-

5

2

，故实数a的取值范围为[-

5

2

，+∞）．
（2）∵?x∈R，f（x）≥-t²-

5

2

t-1恒成立，
∴-

5

2

≥-t²-

5

2

t-1，解得 t≥

1

2

，或 t≤-3．
故实数t的取值范围为[

1

2

，+∞）∪（-∞，-3]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．