Question

销售甲乙两种商品所得的利润分别为P（万元）、Q（万元），它们与投入资金t（万元）有如下关系：P=

3

5

t

，Q=

1

5

t．毛毛今将4万元资金投入经营甲乙两种商品，其中对甲种商品投资x（万元）．
（1）试建立总利润y（万元）关于x的函数表达式，并写出定义域；
（2）分别对甲乙两种商品各投入多少万资金才能使得获取的总利润最大？最大是多少？

Answer 1

分析：（1）利润函数为y=甲商品所得的利润P+乙商品所得的利润Q=

3

5

x

+

1

5

（4-x），其中定义域为x∈[0，4]；
（2）若设t=

x

，则0≤t≤2；所以，函数y=-

1

5

t²+

3

5

t+

4

5

，其中t∈[0，2]；由二次函数的性质，得函数的最大值以及对应的t，x值．

解答：解：（1）利润函数为：y=

3

5

x

+

1

5

(4-x)，其中x∈[0，4]；
（2）令t=

x

，其中0≤t≤2；则
y=-

1

5

t2+

3

5

t+

4

5

=-

1

5

(t-

3

2

)2+

5

4

，t∈[0，2]；
由二次函数的性质得，当t=

3

2

时，函数有最大值ymax=

5

4

，此时x=

9

4

；
所以，对甲投资

9

4

万元，对乙投资

7

4

万元时，获得最大总利润，为

5

4

万元．

点评：本题考查了可化为二次函数模型的根式函数的应用，要注意变化前后的自变量范围的改变，本题属于基础题．