Question

（1）一个动点P在圆x²+y²=4上移动时，求点P与定点A（4，3）连线的中点M的轨迹方程．
（2）自定点A（4，3）引圆x²+y²=4的割线ABC，求弦BC中点N的轨迹方程．
（3）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
①求圆C的方程；
②若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出中点M的坐标，由中点坐标公式得到P点坐标，把P的坐标代入圆的方程即可得到M的轨迹；
（2）设出N点坐标，由ON和AC垂直利用斜率之积等于-1得轨迹方程；
（3）①由题意设出圆心坐标，求出曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点，由两交点到圆心距离相等求出圆心坐标，则圆的方程可求；
②联立圆C与直线x-y+a=0，化为关于x的一元二次方程后利用x₁x₂+y₁y₂=0求解a的值．
解答：解：（1）设中点M坐标为（x，y），由中点坐标公式得动点P的坐标为（2x-4，2y-3），
将P点坐标代入圆得到的关于x、y的方程，就是中点M的轨迹方程（因为点P在圆上）．
即（2x-4）²+（2y-3）²=4；
（2）设中点N坐标为（x，y），圆心为O，则ON⊥AC，且圆心坐标为（0，0），于是
由，
因为ON⊥AC，所以k_AC•k_ON=-1，即
，整理得
（x-2）²+（y-）²=；
（3）①根据题意，可设圆心为（3，b）．
由y=x²-6x+1，令x=0，则y=1；令y=0，则x=3±
所以，（3-0）²+（b-1）²=（±）²+b²，解得b=1，则（±2）²+b²=9
所以，圆C方程为（x-3）²+（y-1）²=9
②设坐标：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B同时满足直线x-y+a=0和圆（x-3）²+（y-1）²=9
联立方程组把y消去，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0
由已知有A、B两个交点，即方程两个解，则△=56-16a-4a²＞0，
因此有x₁+x₂=4-a，③
由OA⊥OB可知，x₁x₂+y₁y₂=0，且y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
即④
把④代入③解得a=-1，将其代入△=56-16a-4a²进行检验，
△=56+16-4=68＞0，即符合．所以a=-1．
点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线与圆相交的性质，解答的关键是灵活运用圆的对称性，考查了一元二次方程的根与系数的关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．