Question

某同学有若干本课外参考书,其中外语5本,数学4本,物理3本,化学2本.他欲带参考书到图书馆看书.

(1)若从这些参考书中带一本去图书馆,有多少种不同的选法?

(2)若外语、数学、物理和化学参考书各带一本,有多少种不同的选法?

(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的选法?

Answer 1

解析:用两个原理求选取方法的总数.

(1)要完成的事是“带一本参考书”,由于不论选哪一学科的书都完成了这件事,因此是分类问题,应用分类计数原理.此题的实质是从14个不同元素中任意选取一个,所以有5+4+3+2=14(种).

(2)要完成的事是“外语、数学、物理和化学参考书各带一本”,因此选一种学科中的一本书只完成了这件事的一部分,只有几种学科的书都选定以后才完成这件事.因此是分步问题,应当用分步计数原理.

所以有5×4×3×2=120(种).

(3)要完成的事是“带2本不同学科的书”,由于共有4个学科,每学科都有两本以上不同的书,因此应先分类确定选择哪两个学科,再分步确定学科带哪本书,故解法表达式应为6个两项乘积的和,即先考虑是带哪两个学科的书,如带外语、数学书各一本,则只选一本外语书和只选一本数学书都只完成了这件事的一部分,因此要用分步计数原理,即有5×4=20种选法.同样地,若选外语、物理各一本,有5×3=15种选法,选外语、化学各一本,有5×2=10种选法,…而上述每一种选法都完成了这件事,因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.所以有5×4+5×3+5×2+4×3+4×2+3×2=71(种).

小结:区分分类计数原理与分步计数原理的关键是分析清楚“做一件事”指的是什么,怎样完成这件事,如果每类办法都能把这件事完成就用分类计数原理;如果完成这件事需要分成几个步骤就用分步计数原理.