Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

7

2

，椭圆C的离心率为

3

4

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，

|OP|

OM

=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件条件，利用椭圆性质，列出方程求出a，b值，问题得以解决．
（2）设M（x，y），根据条件列出关于λ的方程（16λ²-9）x²+16λ²y²=448，然后再按照，线段，圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论．

解答： 解：（1）∵过焦点垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

7

2

，椭圆C的离心率为

3

4

．
∴

c a = 3 4 b2 a = 7 2

解得a=8，b=2

7

，
∴椭圆C的方程为：

x2

64

+

y2

28

=1．
（2）设M（x，y），其中x∈[-8，8]．
∵

|OP|2

|0M|2

=λ2，及点P在椭圆C上，可得

9x2+448

16(x2+y2)

=λ2，
整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=448，其中x∈[-8，8]．
①当λ=

3

4

时，化简得9y²=448．
所以点M的轨迹方程为y=±

8 7

3

（-8≤x≤8），轨迹是两条平行于x轴的线段．
②当λ≠

3

4

时，方程变形为：

x2

448 16λ2-9

+

y2

448 16λ2

=1，
当0＜λ＜

3

4

时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-8≤x≤8的部分；
当

3

4

＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-8≤x≤8的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

点评：本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程．考查分类讨论思想，是中档题．