Question

20．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第-道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为$\frac{25}{32}，\frac{4}{5}，\frac{4}{5}$，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．
（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；
（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P（A）=$\frac{25}{32}×\frac{4}{5}×（1-\frac{4}{5}）$．
（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为$\frac{25}{32}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}=\frac{1}{2}$．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B$（3，\frac{1}{2}）$．

解答 解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则$P（A）=\frac{25}{32}×\frac{4}{5}×（{1-\frac{4}{5}}）=\frac{1}{8}$．
（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为$\frac{25}{32}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}=\frac{1}{2}$．由题意可得X可取0，1，2，3，
则X～B$（3，\frac{1}{2}）$.$P（{X=0}）={（{1-\frac{1}{2}}）^3}=\frac{1}{8}，P（{X=1}）=C_3^1×\frac{1}{2}×{（{1-\frac{1}{2}}）^2}=\frac{3}{8}$，$P（{X=2}）=C_3^2×{（{\frac{1}{2}}）^2}×（{1-\frac{1}{2}}）=\frac{3}{8}，P（{X=3}）={（{\frac{1}{2}}）^3}=\frac{1}{8}$．所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

故$E（X）=0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}=\frac{3}{2}$（或$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了相互独立事件的概率计算公式、二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．