Question

（本题满分14分）

设直线与抛物线交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点。

（1）求的重心G的轨迹方程；

（2）如果的外接圆的方程。

 

Answer 1

【答案】

① ；②。

【解析】

试题分析：（1）设出A、B、G的坐标，联立直线与抛物线，利用重心坐标公式，即可求得重心G的轨迹方程；

（2）确定AB的中垂线方程为x+y-6=0，令△ABF外接圆圆心为C（a，6-a），求出弦AB的长，C到AB的距离，利用|CA|=|CF|，即可求得圆心坐标与半径，从而可得△ABF的外接圆的方程。

解①设，，，重心，

∴△＞0＜1且（因为A、B、F不共线）

故

∴重心G的轨迹方程为  ………6分（范围不对扣1分）

②，则，设中点为

∴   ∴

那么AB的中垂线方程为，令△ABF外接圆圆心为

又，C到AB的距离为

∴

     ∴    ∴

∴所求的圆的方程为    ………14分

考点：本试题主要考查了轨迹方程，考查圆的方程，属于中档题

点评：解决该试题的关键是确定圆的圆心与半径。利用三角形的重心坐标公式及利用待定系数法求解圆的方程，主要体现了方程思想的应用。