解答:解:(1)由a
1=1,a
5=3得,
a
52-a
12=4d,
∴d=2.(2分)
∴a
n2=1+(n-1)×2=2n-1
∵a
n>0,
∴a
n=
,
数列{a
n}的通项公式为a
n=
;(4分)
(2)
()n=(2n-1)
,
设S
n=1•
+3•
+5•
+…+(2n-1)•
①(5分)
S
n=1•
+3•
+5•
+…+(2n-1)•
②(6分)
①-②,得
∴
S
n=
+2(
+
+…+
)-(2n-1)•
=
+
2•-(2n-1)•
∴S
n=3-
.(8分)
即数列
{()n}的前n项和为3-
;
(3)解法一:b
n=n(2n-1),不等式kb
n>n(4-k)+4恒成立,
即kn
2-2n-2>0对于一切的n∈N+恒成立.(10分)
设g(n)=kn
2-2n-2.(11分)
当k>时,由于对称轴n=
<1,且g(1)=k-2-2>0
而函数g(n)在[1,+∞)是增函数,(12分)
∴不等式kb
n>n(4-k)+4恒成立,
即当k>4时,不等式kb
n>n(4-k)+4对于一切的n∈N+恒成立.(13分)
解法二:b
n=n(2n-1),不等式kb
n>n(4-k)+4恒成立,即kn
2-2n-2>0对于一切的n∈N+恒成立.(10分)
∴k>
+(11分)
∴n≥1,∴
+≤4.(12分)
而k>4
∴k>
+恒成立.
故当k>4时,不等式kb
n>n(4-k)+4对于一切的n∈N+恒成立.(13分)