Question

2002年在北京召开的世界数学家大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B₁、B₂、B₃、…、B_n和C₁、C₂、C₃、…、C_n分别在直线y=-

1

2

x+

3

+1和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为

 

．

Answer 1

分析：利用直角三角形两条直角边的差求出第一个正方形的边长，依次求出第二个、第三个小正方形的边长，归纳总结得到第n个小正方形的边长，则第n个阴影正方形的面积可求．

解答：解：∵每四个全等直角三角形都组成1个大正方形和1个小正方形，把这样的一个组合称为一组．
第一组中，OC₁=C₁B₁，即点B₁在直线y=x上，代入直线y=-

1

2

x+

3

+1得，x=y=

2

3

(

3

+1)，
∵直角三角形有一个角为30°，可得两直角边OQ1=

1

3

(

3

+1)，Q1C1=

3

3

(

3

+1)，
小正方形边长为两直角边之差，即为

3

3

(

3

+1)-

1

3

(

3

+1)=

2

3

，则小正方形面积为(

2

3

)2=

4

9

．
∴第1个阴影部分的面积为

4

9

．
接下来的每一组大正方形的边长都会逐渐变小，但是成一定规律的．
用前几组做代表，第二组的边长设为x-

2

3

(

3

+1)，即为第二组的y值，
代入直线y=-

1

2

x+

3

+1求得x=

10

9

(

3

+1)，则第二组大正方形的边长为

6

9

(

3

+1)．
第三组的边长设为x-

6

9

(

3

+1)，也即为第三组的y值，
代入直线y=-

1

2

x+

3

+1求得x=

38

27

(

3

+1)，则第三组大正方形的边长为

8

27

(

3

+1)．
如此类推，第n组大正方形的边长为

2n

3n

(

3

+1)．
那么小正方形的边长为(

2

3

)n．
∴第n个小正方形的面积为(

2

3

)2n．
故答案为：(

2

3

)2n．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了数列和求法，解答的关键在于通过求解前几个小正方形的边长，总结出小正方形边长的关于n的函数表达式，是中档题．