Question

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足a≠b，2sin（A-B）=asinA-bsinB
（Ⅰ）求边c
（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角差的正弦函数公式，正弦定理化简已知可得：2acosB-2bcosA=a²-b²，进而由余弦定理即可解得c的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，利用三角形面积公式可求ab，进而利用余弦定理即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2sin（A-B）=asinA-bsinB，
∴2sinAcosB-2cosAsinB=asinA-bsinB，由正弦定理可得：2acosB-2bcosA=a²-b²，
∴由余弦定理可得：2a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-2b×$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=a²-b²，可得：$\frac{2（{a}^{2}-{b}^{2}）}{c}$=a²-b²，
∵a≠b，∴c=2…6分
（Ⅱ）∵tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2，sin²C+cos²C=1，
∴sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}ab×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=1，
∴ab=$\sqrt{5}$，
∵cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-4}{2ab}$，
∴a²+b²=6，（a+b）²=6+2$\sqrt{5}$，
∴a+b=1+$\sqrt{5}$…12分

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．