Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

a，曲线C₂的参数方程为

x=-1+cosφ x=-1+sinφ

（φ为参数，0≤φ≤π），
（Ⅰ）求C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C₁与C₂有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）展开两角和的正弦公式，然后代入x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为直角坐标方程；
（Ⅱ）化C₂的参数方程为直角坐标方程，然后利用数形结合求解实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=

2

2

a，
即ρcosθ+ρsinθ=a，
∴曲线C₁的直角坐标方程为x+y-a=0．
（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为（x+1）²+（y+1）²=1（-1≤y≤0），为半圆弧，
如图所示，曲线C₁为一组平行于直线x+y=0的直线，
当直线C₁与C₂相切时，由

|-1-1-a|

2

=1，得a=-2±

2

，
舍去a=-2-

2

，则a=-2+

2

，
当直线C₁过点A（0，-1）、B（-1，0）两点时，a=-1，
∴由图可知，当-1≤a＜-2+

2

时，曲线C₁与曲线C₂有两
个公共点．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了化参数方程为普通方程，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．