Question

如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？

Answer 1

分析：设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8-2x）•（5-2x）•x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大．

解答：解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，

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）；
盒子容积为：y=（8-2x）•（5-2x）•x=4x³-26x²+40x，
对y求导，得y^′=12x²-52x+40，令y^′=0，得12x²-52x+40=0，解得：x=1，x=

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（舍去），
所以，当0＜x＜1时，y^′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜

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时，y^′＜0，函数y单调递减；
所以，当x=1时，函数y取得最大值18；
所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm³．

点评：本题考查了简单的三次函数模型的应用，利用求导法求得三次函数在其定义域上的最值问题，是中档题．