Question

如图，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB∶AD＝∶1，F是AB的中点．

　　（1）求VC与平面ABCD所成的角；

　　（2）求二面角V-FC-B的度数；

　　（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．

Answer 1

（1）VC与平面ABCD成30°．

　　（2）二面角V-FC-B的度数为135°．

　　（3）B到面VCF的距离为．

解析:

取AD的中点G，连结VG，CG．

　　（1）∵　△ADV为正三角形，∴　VG⊥AD．

　　又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，

　　∴　VG⊥平面ABCD，则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．

　　设AD＝a，则，．

　　在Rt△GDC中，

　　．

　　在Rt△VGC中，．

　　∴　．

　　即VC与平面ABCD成30°．

　　（2）连结GF，则．

　　而　．

　　在△GFC中，．　∴　GF⊥FC．

　　连结VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．

　　在Rt△VFG中，．

　　∴　∠VFG＝45°．　二面角V-FC-B的度数为135°．

　　（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG＝3．

　　此时，，，．

　　∴　，

　　　　．

　　∵　，

　　∴　．

　　∴　．

　　∴　　即B到面VCF的距离为．