Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧棱与底面垂直，且侧棱长为

2

2

a，点D₁为A₁C₁中点．
（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D₁
（2）求三棱锥B-AB₁D₁的体积．
（3）若D为AC中点，P在线段D₁D上．
试确定P点位置，使平面PAB₁⊥平面ABB₁A₁

Answer 1

分析：（1）连A₁B交AB₁于O点，连OD₁在△A₁BC₁中，由三角形中位线得到OD₁∥BC₁，再由线面平行的判定定理得到直线BC₁∥平面AB₁D₁
（2）由面A₁B₁C₁⊥面A₁B₁AB，过D₁点作D₁M⊥A₁B₁垂足为M，线段D₁M的长为三棱锥D₁-ABB₁的高，再由体积公式求解．
（3）如图：要使平面PAB₁⊥平面ABB₁A₁只需使PQ⊥平面ABB₁A₁，就可以了．

解答：（1）证明：
连A₁B交AB₁于O点，连OD₁在△A₁BC₁中，
∵O，D₁分别为A₁B，A₁C₁的中点．
∴OD₁是△A₁BC₁的中位线
∴OD₁∥BC₁
又∵OD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁
∴BC₁∥平面AB₁D₁（4分）

（2）解：过D₁点作D₁M⊥A₁B₁垂足为M
依题意得D₁M⊥平面ABB₁A₁
∴线段D₁M的长为三棱锥D₁-ABB₁的高
且D1M=

3

4

a
∴VB-AB1D1=VD1-ABB1=

1

3

S△ABB1•

D

1

M=

1

3

×

1

2

×AB×BB1×D1M
=

1

6

•a•

2

2

a•

3

4

a=

6

48

a3（8分）

（3）过M点作MN⊥AB，垂足为N，连DN
依题意可知四边形MNDD₁为矩形
且DN⊥平面ABB₁A₁
∵D为AC中点∴

AN

AB

=

1

4

设MN∩AB₁=Q连PQ
要使平面PAB₁⊥平面ABB₁A₁
只需使PQ⊥平面ABB₁A₁
∴PQ∥DN∴四边形QNDP为矩形∴QN=PD
又∵MN∥B₁B∴QN∥B₁B
∴

QN

B1B

=

AN

AB

=

1

4

∴PD=QN=

1

4

B1B=

1

4

D1D
∴P为D₁D的四等分点且PD=

1

4

D1D=

2

8

a（12分）

点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理，同时培养学生平面和空间的转化能力．