Question

已知函数 f（x）=a•sin（πx+θ）+b•cos（πx+θ）+4，若f（2004）=3，则 f（2005）=    ．

Answer 1

【答案】分析：把函数f（x）的解析式的前两项提取，设cosα=，sinα=，根据两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=求出f（x）的周期，由求出的周期可得f（2004）与f（0）相等，把x=0代入f（x）的解析式，得到一个关系式，再由周期可得所求式子与f（1）相等，把x=1代入f（x）解析式，变形后，把得到的关系式整体代入可得f（1）的值，即为所求式子的值．
解答：解：函数f（x）=a•sin（πx+θ）+b•cos（πx+θ）+4
=sin（πx+θ+α）+4，（cosα=，sinα=），
∵ω=π，∴T==2，
又f（2004）=f（0）=3，即f（0）=asinθ+bcosθ+4=3，
所以asinθ+bcosθ=-1，
则f（2005）=f（1+1002×2）=f（1）=a•sin（π+θ）+b•cos（π+θ）+4
=-（asinθ+bcosθ）+4=-（-1）+4=5．
故答案为：5
点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有三角函数的定义，诱导公式，两角和与差的正弦函数，以及函数周期性的应用，其中根据三角函数的恒等变形把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．