Question

（本小题满分14分）已知的图像在点处的切线与直线平行.
⑴ 求，满足的关系式；
⑵ 若上恒成立，求的取值范围；
⑶ 证明：（）

Answer 1

（1）；（2）的取值范围是 ；（3）见解析。

解析试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，可得f′（1）=a-b=2，即可求a，b满足的关系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，构造新函数g（x）=f（x）-2lnx=-2lnx，x∈[1，+∞）则根据g（1）=0，g′（x），比较对应方程根的大小，进行分类讨论，即可求得a的取值范围；
（1），根据题意，即 ………3分
（2）由（1）知，，………4分
令，
则，=  ………5分
①当时， ，
若，则，在为减函数，存在，
即在上不恒成立．                   ………6分
②时，，当时，，在增函数，又，
∴，∴恒成立．………7分
综上所述，所求的取值范围是 …………8分
（3）由（2）知当时，在上恒成立．取得
令，得， 
即 ……10分
  
  
∴ ………11分
上式中令n=1，2，3，…，n，并注意到：
然后n个不等式相加得到 ………14分
考点：本试题主要考查了导数知识的运用，考查恒成立问题，考查不等式的证明。属于中档试题。
点评：解决该试题的关键是正确求出导函数，构造新函数，利用函数的单调性解题，这是解决一般不等式恒成立问题的常用的方法，也是比较重要的方法。