Question

已知a＞0，且a≠1，设p：函数y=log_a（x+1）在x∈（0，+∞）内单调递减；q：函数y=x²+（2a-3）x+1有两个不同零点，如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先由对数函数的单调性求出命题p成立时a的取值范围，再由二次函数的判别式求出命题q成立时a的取值范围，再求出p真q假和p假q真时a的取值范围，最后取并集即可．

解答：解：由题意易知：p：0＜a＜1，q：（2a-3）²-4＞0，即a＞

5

2

，或a＜

1

2

．
又因为p和q有且只有一个正确，
所以若p真q假，即

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

，得

1

2

≤a＜1；（4分）
若p假q真，即

a≥1，或a≤0 a＜ 1 2 ，或a＞ 5 2

，得a≤0，或a＞

5

2

．（7分）
综上可得a的取值范围是a≤0，

1

2

≤a＜1，或a＞

5

2

．（8分）

点评：本题考查了对数函数的单调性、二次函数根的判定及否命题的知识．