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已知a>0,且a≠1,设p:函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减;q:函数y=x2+(2a-3)x+1有两个不同零点,如果p和q有且只有一个正确,求a的取值范围.
分析:先由对数函数的单调性求出命题p成立时a的取值范围,再由二次函数的判别式求出命题q成立时a的取值范围,再求出p真q假和p假q真时a的取值范围,最后取并集即可.
解答:解:由题意易知:p:0<a<1,q:(2a-3)2-4>0,即a>
5
2
,或a<
1
2

又因为p和q有且只有一个正确,
所以若p真q假,即
0<a<1
1
2
≤a≤
5
2
,得
1
2
≤a<1
;(4分)
若p假q真,即
a≥1,或a≤0
a<
1
2
,或a>
5
2
,得a≤0,或a>
5
2
.(7分)
综上可得a的取值范围是a≤0,
1
2
≤a<1,或a>
5
2
.(8分)
点评:本题考查了对数函数的单调性、二次函数根的判定及否命题的知识.
练习册系列答案
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已知a>0,且a≠1,数学公式
(1)求f(x)的表达式,并判断其单调性;
(2 )当f(x)的定义域为(-1,1)时,解关于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0;
(3)若y=f(x)-4在(-∞,2)上恒为负值,求a的取值范围.

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