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已知a>0,且a≠1,
(1)求f(x)的表达式,并判断其单调性;
(2 )当f(x)的定义域为(-1,1)时,解关于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0;
(3)若y=f(x)-4在(-∞,2)上恒为负值,求a的取值范围.
【答案】分析:(1)利用对数函数的性质结合换元法令t=logax,从而推出x=at,导出f(t)后,直接把f(t)中的变量t都换成x就得到f(x),利用单调函数的定义和性质可判断单调性.
(2)结合f(x)的奇偶性与单调性进行求解:由y=f(x)(x∈R)的奇偶性、单调性,由f(1-m)+f(1-m2)<0可得f(1-m)<-f(1-m2),即f(1-m)<f(m2-1),再y=f(x)在(-1,1)上是增函数求解m的取值范围.
(3)由当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,即f(x)-4<0恒成立,根据函数的单调性可得f(2)-4≤0,整理即可解得a的取值范围.
解答:解:(1):(1)令t=logax(t∈R),
则x=at,f(t)=(at-a-t).
∴f(x)=(ax-a-x)(x∈R).
①当a>1时,指数函数y=ax是增函数,y=()x=a-x是减函数,y=-a-x是增函数.
∴y=ax-a-x为增函数,
又因为>0,
∴f(x)=(ax-a-x)(x∈R)是增函数.
②当0<a<1时,指数函数y=ax是减函数,
y=()x=a-x是增函数,y=-a-x是减函数.
∴u(x)=ax-a-x为减函数.
又因为<0,
∴f(x)=(ax-a-x)(x∈R)是增函数.
综上可知,在a>1或0<a<1时,y=f(x),(x∈R)都是增函数.
(2)易判断函数f(x)是奇函数,f(1-m)+f(1-m2)<0?f(1-m)<f(m2-1),
又f(x)为增函数,所以有,解得
故不等式的解集{m|1<m<};
(3)当x∈(0,2)时,f(x)-4的值恒为负数,即f(x)-4<0恒成立,
因为f(x)为R上的单调增函数,则f(2)-4=(a2-a-2)-4≤0,
整理得a2-4a+1≤0,所以2-≤a≤2
又a>0且a≠1,所以实数a的取值范围是[2-,1)∪(1,2].
点评:本题是函数奇偶性与单调性的综合应用,特别是后面抽象不等式及恒成立问题,难度较大.
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