Question

 已知函数是在上每一点均可导的函数，若 在时恒成立．

（1）求证：函数在上是增函数；

（2）求证：当时，有；

（3）请将（2）问推广到一般情况，并证明你的结论．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）由得因为，

    所以在时恒成立，所以函数在上是增函数．……3分

（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，

有成立，……5分

从而，

两式相加得．……7分

（3）推广到一般情况为：

若，则，．……8分

以下用数学归纳法证明

（1）当时，有（2）已证成立，……9分

（2）假设当时成立，即

那么当时，

成立，即当时也成立．

    有（1）（2）可知不等式对一切时都成立．……12分