Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（a≥0）
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在区间（0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=0时，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）$a=0，f（x）=2lnx-x，f'（x）=\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x}（{x＞0}）$，
在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．
（2）$f'（x）=ax-（{2a+1}）+\frac{2}{x}（{x＞0}）$，$f'（x）=\frac{{（{ax-1}）（{x-2}）}}{x}（{x＞0}）$，
 ①当a=0时，由（1）知f（x）在（0，2]上单调递增，
故在（0，2]上f（x）_max=f（2）=2ln2-2，
②当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}≥2$，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；
故f（x）在（0，2]上单调递增，
故在（0，2]上f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2，
③当$a＞\frac{1}{2}$时，$0＜\frac{1}{a}＜2$，在区间$（{0，\frac{1}{a}}）$上，f'（x）＞0；
在区间$（{\frac{1}{a}，2}）$上，f'（x）＜0，
f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}]$上单调递增，在$[{\frac{1}{a}，2}]$上单调递减，
故在（0，2]上$f{（x）_{max}}=f（{\frac{1}{a}}）=-2-\frac{1}{2a}-2lna$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．