Question

3．函数y=$\frac{2-sinα}{cosα-1}$的值域是（-∞，-$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 y=$\frac{2-sinα}{cosα-1}$=-$\frac{sinα-2}{cosα-1}$可看作点（cosα，sinα）与（1，2）连线斜率的相反数，由直线和圆的位置关系可得．

解答 解：y=$\frac{2-sinα}{cosα-1}$=-$\frac{sinα-2}{cosα-1}$可看作点（cosα，sinα）与（1，2）连线斜率的相反数，
由sin²α+cos²α=1可知点（cosα，sinα）在单位圆x²+y²=1上运动，
设过点（1，2）且斜率为k的直线y-2=k（x-1）即kx-y+2-k=0与单位圆相切，
则$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$，∴$\frac{sinα-2}{cosα-1}$∈[$\frac{3}{4}$，+∞），
∴函数的值域为（-∞，-$\frac{3}{4}$]，
故答案为：（-∞，-$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，数形结合转化为直线的斜率范围是解决问题的关键，属中档题．