Question

18．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=2，D为BC中点，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的夹角为60°．
（1）求|$\overrightarrow{AD}$|的长；
（2）若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$λ（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）（0≤λ≤1），P为AD上一动点，求$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最大，最小值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，可得$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，解得|$\overrightarrow{BC}$|．在△ABD与△ACD中，分别利用余弦定理可得：AB²+AC²=2AD²+$\frac{1}{2}B{C}^{2}$，代入解出即可．
（2）λ=0时，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=0.0＜λ≤1时，可得$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\frac{2}{λ}\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-$\frac{2}{λ}{\overrightarrow{AP}}^{2}$，当点P与点D重合时，λ=1，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-2${\overrightarrow{AD}}^{2}$，取得最小值，即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=2²+3²-2×2×3cos60°=7，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{7}$．
在△ABD与△ACD中，分别利用余弦定理可得：AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，
AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos（π-∠ADB），
∴AB²+AC²=2AD²+$\frac{1}{2}B{C}^{2}$，
∴${3}^{2}+{2}^{2}=2A{D}^{2}+\frac{1}{2}×（\sqrt{7}）^{2}$，
解得$|\overrightarrow{AD}|$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$．
（2）λ=0时，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=0．
0＜λ≤1时，∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$λ（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），∴$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\frac{2}{λ}\overrightarrow{AP}$．
∴$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-$\frac{2}{λ}{\overrightarrow{AP}}^{2}$，
当点P与点D重合时，λ=1，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-2${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$-\frac{19}{2}$，取得最小值．
∴$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最大、最小值分别为0；$-\frac{19}{2}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、余弦定理，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．