Question

7．在数列{a_n}中，a₁=5，并且a₁+a₂+…+a_n-1=a_n（n≥2且n∈N^*），求通项a_n．

Answer 1

分析 由a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N^*，n≥2），a_n-1=a_n-2+a_n-3+…+a₂+a₁（n∈N^*，n≥3），知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，由此能求出数列{a_n}的通项公式

解答 解：∵a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N^*，n≥2），
∴a_n-1=a_n-2+a_n-3+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥3），
∴两式相减得a_n-a_n-1=a_n-1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴当n≥2时，数列{a_n}是以a₂=a₁=5为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n=a₂•2^n-2=5•2^n-2．
故数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{5×{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求解方法和数列递推公式的灵活运用．