Question

（本题满分15分）已知过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1<x2）两点，且|AB|＝9．

（1）求该抛物线的方程；

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．

Answer 1

（1）9；（2）λ＝0，或λ＝2

【解析】

试题分析：（1）设出直线AB方程，由抛物线与直线联立消y得4x2－5px＋p2＝0，利用抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，故抛物线方程是；（2）由（1）可得A，B两点的坐标分别为A（1，），B（4，），由向量坐标运算及可得＝（1，）＋λ（4，）＝（4λ＋1, λ），再由C坐标满足抛物线方程得[ （2λ－1）]2＝8（4λ＋1） 或

试题解析：（1）直线AB的方程是，与联立，

从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝， 3分

由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 5分

所以p＝4，从而抛物线方程是． 7分

（2）由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，

所以x1＝1，x2＝4，y1＝，y2＝，

所以A（1，），B（4，）； 10分

设＝（x3，y3）＝（1，）＋λ（4，）＝（4λ＋1, λ）， 12分

又，即[ （2λ－1）]2＝8（4λ＋1），

即（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2． 15分

考点：抛物线及其应用