Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通项公式a_n；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，问：是否存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a₂，a₄，…，a_2n，…是首项为2，公比为3的等比数列，从而可得通项公式a_n；
（2）由（1）先求出S_2n，S_2n-1的表达式，若存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1，则m=≤3，再分类讨论，即可求得结论．
解答：解：（1）当n是奇数时，cosnπ=-1；当n是偶数时，cosnπ=1．
所以，当n是奇数时，a_n+2=a_n+2；当n是偶数时，a_n+2=3a_n． …（2分）
又a₁=1，a₂=2，，所以a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首项为1，公差为2的等差数列；
a₂，a₄，…，a_2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．        …（4分）
所以，a_n=．          …（6分）
（2）由（1），得S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=3ⁿ+n²-1，
S_2n-1=S_2n-a_2n=3ⁿ+n²-1-2×3^n-1=3^n-1+n²-1．        …（8分）
所以，若存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1，则m==1+≤1+=3． …（9分）
显然，当m=1时，S_2n=3ⁿ+n²-1≠1×3^n-1+n²-1=S_2n-1；
当m=2时，由S_2n=2S_2n-1，整理得3^n-1=n²-1．
显然，当n=1时，3^1-1≠1²-1；
当n=2时，3^2-1=2²-1，
所以（2，2）是符合条件的一个解．                  …（11分）
当n≥3时，=2n²-4n+3=（n-2）²+n²-1＞n²-1．       …（12分）
当m=3时，由S_2n=3S_2n-1，整理得n=1，
所以（3，1）是符合条件的另一个解．
综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对． …（14分）
点评：本题考查数列的通项，考查存在性问题的探究，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．