Question

(理)已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足：-[y+2f′(1)]+ln(x+1) =0，函数g(x)=+af(x)．

(1)求函数y=f(x)的表达式；

(2)若g(x)在点(3，g(3))处的切线与直线7x-18y+3=0平行，求函数g(x)的极值；

(3)若函数g(x)在(0，2)上单调递减，求实数a的取值范围．

(文)已知A、B、C是直线l上的三点，且满足：-(y+ax²)+(x3+3x)=0．

(1)若f(x)在点(1，f(3))处的切线与直线2x+y+3=0平行，求函数y=f(x)的极值；

(2)若函数y=f(x)在(-2，)上单调递减，求实数口的取值范围．

Answer 1

答案：(理)(1)∵-[y+2f′(1)]+ln(x+1)=0，

∴=[y+2f′(1)]-ln(x+1)

由于A、B、C三点共线，即[y+2f′(1)]+[-ln(x+1)]=1

∴y=f(x)=ln(x+1)+1-2f′(1)

f′(x)=，得f′(1)=，故f(x)=ln(x+1)．

(2)∵g(x)=+aln(x+1)，

∴g′(x)=,

又x∈(-1，0)∪(0，+∞)

由g′(3)=，解得a=2

则g′(x)=

由g′(x)＞0解得-1＜x＜或x＞1，由g′(x)＜0

解得＜x＜1

则g(x)的增区间是(-1，)，(1，+∞)

g(x)的减区间是(，0)，(0，1)

故g极大值(x)=g()=-2-ln2，

g极小值(x)=g(1)=1+21n2．

(3)由g′(x)=＜0，得ax²-x-1＜0，即a＜在(0，2)上恒成立，

令u=,

则u在t=∈(，+∞)上单调递增，

∴u的最小值趋向于()²，但取不到此值

∴a≤．

(文)∵-(y+ax²)+(x³+3x)=0，

∴=(y+ax²)-(x³+3x)

由于A、B、C三点共线，得y+ax2-x3=1，即y=x³-ax²+3x+1．

(1)∵f′(x)=3x²-2ax+3，则f′(1)=3x²-2ax+3=3-2a+3=-2，得a=4，

∴f′(x)=3x²-8x+3=3(x-3)(x)，

由f′(x)＞0解得x＜或x＞3；

由f′(x)＜0解得＜x＜3．

则f(x)的增区间是(-∞，)，(3，+∞)；减区间是(，3)

故f_极大值(x)=f()=，f_极小值(x)=f(3)=1．

(2)∵f′(x)=3x²-2ax+3，

又f(x)在(-2，)上单调递减，

∴f′(x)=3x²-2ax+3＜0在(-2，)上恒成立f′(x)_max＜0．

又∵f′(x)是开口向上的抛物线，

∴只要，即,

解得a≤.