Question

15．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=$\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}）\;\;b=-2f（-2）\;\;c=ln2•f（ln2）$，则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． a＞c＞b
• C． c＞b＞a
• D． b＞c＞a

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，可得：当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0．即当x＞0时，g′（x）＞0，因此当x＞0时，函数g（x）单调递增，然后利用函数g（x）的单调性得答案．

解答 解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0．
即当x＞0时，g′（x）＞0，
因此当x＞0时，函数g（x）单调递增．
∵函数f（x）为奇函数，∴b=-2f（-2）=2f（2），
又c=ln2f（ln2），
∵2＞ln2＞$\frac{1}{2}$，
∴g（2）＞g（ln2）＞g（$\frac{1}{2}$），
即b＞c＞a．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了构造函数法比较大小，考查了推理能力，是中档题．