Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若$\overrightarrow{OP}={a_{1007}}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+{a_{1008}}\overrightarrow{OC}$且P，A，B，C四点共面（该面不过点O），则S₂₀₁₄=（　　）

• A． 503
• B． $\frac{1007}{2}$
• C． 1006
• D． 1007

Answer 1

分析 根据向量的共面定理，得出a₁₀₀₇+$\frac{1}{2}$+a₁₀₀₈=1，再求等差数列的前n项和S₂₀₁₄的值．

解答 解：根据向量的共面定理，得；
当$\overrightarrow{OP}={a_{1007}}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+{a_{1008}}\overrightarrow{OC}$时，
a₁₀₀₇+$\frac{1}{2}$+a₁₀₀₈=1，
∴a₁₀₀₇+a₁₀₀₈=$\frac{1}{2}$；
∴等差数列{a_n}的前n项和
S₂₀₁₄=$\frac{2014{（a}_{1}{+a}_{2014}）}{2}$
=1007•（a₁₀₀₇+a₁₀₀₈）
=1007×$\frac{1}{2}$
=$\frac{1007}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间向量的基本定理与等差数列前n项和公式的应用问题，是基础题目．