Question

17．已知函数f（x）对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-3，并且当x＞0时，f（x）＞3．
（1）求证：f（x）是R上的增函数．
（2）若f（4）=2，解不等式f（3m²-m-2）＞$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0．由当x＞0时，f（x）＞3．得到f（x₂-x₁）＞3，再对f（x₂）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-3变形得到结论；
（2）由f（4）=2，再将f（3m²-m-2）＞$\frac{5}{2}$转化为f（3m²-m-2）＞f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解．

解答 解：（1）证明：任取x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞3．
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-3＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数；
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-3=2，可得f（2）=$\frac{5}{2}$，
∴f（3m²-m-2）＞$\frac{5}{2}$=f（2），
又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
∴3m²-m-2＞2，
3m²-m-4＞0，
∴m＜-1或m＞$\frac{4}{3}$，
即不等式的解集为{m|m＜-1或m＞$\frac{4}{3}$}．

点评 本题主要考查抽象函数的单调性证明和利用单调性定义解抽象不等式，利用定义法以及转化法是解决本题的关键．属于中档题．