Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0}\\{tx+{t}^{2}-2，x≤-1}\end{array}\right.$，恰有一个零点，则实数t的取值范围是（-4，-1）∪（0，2）．

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0}\\{tx+{t}^{2}-2，x≤-1}\end{array}\right.$，恰有一个零点，则$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$恰有一个零点，y=tx+t²-2，x≤-1无零点，或$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$无零点，y=tx+t²-2，x≤-1恰有一个零点，分类讨论各个情况下，两段函数零点的个数，综合讨论结果可得答案．

解答 解：若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0}\\{tx+{t}^{2}-2，x≤-1}\end{array}\right.$，恰有一个零点，
则$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$恰有一个零点，y=tx+t²-2，x≤-1无零点，
或$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$无零点，y=tx+t²-2，x≤-1恰有一个零点，
令$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1）=0$，则$\frac{1}{2}ln|tx|=ln（x+1）$，
则$ln\sqrt{\left|tx\right|}=ln（x+1）$，
则$\sqrt{\left|tx\right|}=x+1$，
即|tx|=x²+2x+1，
当0＜|t|＜4时，y=|tx|与y=x²+2x+1的图象在x＞-1时，只有一个交点，
当|t|=0时，y=|tx|与y=x²+2x+1的图象在x＞-1时，无交点；
当|t|≥4时，y=|tx|与y=x²+2x+1的图象在x＞-1时，有两个以上交点，
由y=tx+t²-2得：x=$\frac{2-{t}^{2}}{t}$≤-1，解得：t≥2，或-1≤t＜0，
故t∈（-4，-1）∪（0，2）．
故答案为：（-4，-1）∪（0，2）

点评 本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，函数的零点，分类讨论思想，难度极大．