练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为
    1
    4
    ，乙队胜、平、负丁队的概率均为
    1
    3
    ，且四个队之间比赛结果相互独立．
    （Ⅰ）求在整个小组赛中，乙队最后积4分的概率；
    （Ⅱ）设随机变量 X为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量 X的分布列与数学期望；
    （Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）
    考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
    专题：概率与统计
    分析：（I）设乙队胜或平丙队的事件分别A1，A2，A3，乙队胜、平、负丁队的事件分别B1，B2，B3，则P（A1）=P（A2）=
    1
    4
    ，P（A3）=
    1
    2
    ，P（Bi）=
    1
    3
    （i=1，2，3）．设乙队最后积4分为事件C，则P（C）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）．
    （II）随机变量ξ的可能取值为：7，5，4，3，2，1．P（X=7）=P（A1）P（B1），P（X=5）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1），P（X=4）=
    1
    4
    ，P（X=3）=P（A2）P（B2），P（X=2）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2），P（X=1）=P（A3）P（B3）．
    即可得到随机变量X的分布列及其数学期望．
    （III）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．当乙队积5分时，丙队或丁队的可能积分为4，3，2，1，0．当乙队积4分时，丙队或丁队的可能积分为6或4．即可判断出．
    解答： 解：（I）设乙队胜或平丙队的事件分别A1，A2，A3，乙队胜、平、负丁队的事件分别B1，B2，B3，
    则P（A1）=P（A2）=
    1
    4
    ，P（A3）=
    1
    2
    ，P（Bi）=
    1
    3
    （i=1，2，3）．
    设乙队最后积4分为事件C，则P（C）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=
    1
    4
    ×
    1
    3
    +
    1
    2
    ×
    1
    3
    =
    1
    4
    ．
    （II）随机变量ξ的可能取值为：7，5，4，3，2，1．
    P（X=7）=P（A1）P（B1）=
    1
    4
    ×
    1
    3
    =
    1
    12
    ，P（X=5）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=
    1
    4
    ×
    1
    3
    +
    1
    4
    ×
    1
    3
    =
    1
    6
    ，
    P（X=4）=
    1
    4
    ，P（X=3）=P（A2）P（B2）=
    1
    4
    ×
    1
    3
    =
    1
    12
    ，
    P（X=2）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=
    1
    4
    ×
    1
    3
    +
    1
    2
    ×
    1
    3
    =
    1
    4
    ，P（X=1）=P（A3）P（B3）=
    1
    2
    ×
    1
    3
    =
    1
    6
    ．
    可得随机变量X的分布列为：
    X754321
    P（X）
    1
    12
    1
    6
    1
    4
    1
    12
    1
    4
    1
    6
    E（X）=7×
    1
    12
    +5×
    1
    6
    +4×
    1
    4
    +3×
    1
    12
    +2×
    1
    4
    +1×
    1
    6
    =
    10
    3
    ．
    （III）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．当乙队积5分时，丙队或丁队的可能积分为4，3，2，1，0．乙队为小组第二，可以出线．当乙队积4分时，丙队或丁队的可能积分为6或4，因此不能确保乙队出线．
    点评：本题考查了古典概型的概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知角α的终边经过点A（-1，
    		15
    ），则
    sin(α+
    π
    4
    )
    sin2α+cos2α+1
    =
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=
    		6
    ．
    （1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
    （2）求平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：
    ①锻炼时间不超过1小时，免费；
    ②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；
    ③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；
    ④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．
    （Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
    （Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ax2-2x+lnx+1．
    （1）若函数f（x）在其定义域内为单调递增，求实数a的取值范围；
    （2）设g（x）=mx2+4mx+3，当a=1时，不等式f（x1）≤g（x2），x1∈（0，1]，x2∈（-∞，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若a＞0，b＞0，则有（　　）
    A、
    b2
    a
    ＞2b-a
    B、
    b2
    a
    ＜2b-a
    C、
    b2
    a
    ≥2b-a
    D、
    b2
    a
    ≤2b-a

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（　　）
    A、4320B、2400
    C、2160D、1320

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形，其中主视图是以2为直角边的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（　　）
    A、16πB、9πC、8πD、4π

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    为了对某课题进行研究，用分层取样方法从三所中学A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）（1）求x，y（2）若从中学A，B抽取的人中选2人外出考察，求这二人都来自这些A的概率．
    中学相关人员抽取人数
    A30x
    B20y
    C101

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案