Question

已知f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对于定义域内任意的x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证f（x）是偶函数；
（2）求证f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（a+1）＞f（a）+1，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意知，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，代入上式解得f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，代入上式解得f（1）=f（-1）+f（-1）=0∴f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x₂＞x₁＞0，则=
∵x₂＞x₁＞0，∴，∴＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1
∴f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a）
∵f（x）是偶函数；
∴f（|x|）=f（-x）=f（x）则f（a+1）＞f（2a）即f（|a+1|）＞f（|2a|）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴|a+1|＞|2a|
两边平方得a²+2a+1＞4a²
即3a²-2a-1＜0解得-＜a＜1
分析：（1）根据题意和式子的特点，先令x₁=x₂=1，求出f（1）=0，令x₁=x₂=-1求出f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x求出f（-x）=f（x），则证出此函数为偶函数；
（2）先任取x₂＞x₁＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x₂=和且＞0，判断符号并得出结论；
（3）根据f（2）=1得f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a），然后根据偶函数f（x）得f（|a+1|）＞f（|2a|），最后根据f（x）在（0，+∞）上是增函数建立不等关系，解之即可．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的奇偶性和单调性，同时考查了不等式的解法，属于中档题．