【题目】为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的
名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于
小时的有
人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足
分的占
，统计成绩后，得到如下的
列联表：
分数大于等于 | 分数不足 | 合计 | |
周做题时间不少于 | 4 | 19 | |
周做题时间不足 | |||
合计 | 45 |
（
）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．
（
）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于
分和分数不足分的两组学生中抽取
名学生，设抽到的不足分且周做题时间不足小时的人数为
，求的分布列（概率用组合数算式表示）．
（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取
人，求这些人中周做题时间不少于小时的人数的期望和方差．
附：
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【答案】(1)见解析；(2) （i）见解析 （ii）见解析
【解析】
（1）根据比例计算每周自主做数学题的时间不足15小时，且数学分数不足120分的人数，再根据合计数填表。
（2）（i）由分层抽样知大于等于
分的有
人，不足分的有
人，
的可能取值为
，
，
，
，．即可列出分布列。
（ii）根据二项分布的性质即可计算
（）
分数大于等于 | 分数不足 | 合计 | |
周做题时间不少于 |
|
| 19 |
周做题时间不足 |
|
| 26 |
合计 |
|
| 45 |
∵
．
∴能在犯错误的概率不超过
的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．
（）（i）由分层抽样知大于等于分的有人，不足分的有人，的可能取值为，，，，．
， 
，
， 
， 
．
则分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
|
|
|
|
|
（ii）设从全校大于等于分的学生中随机抽取
人，这些人中，周做题时间不少于
小时的人数为随机变量
，
由题意可知
，
故
，
．
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在等腰
中，斜边
，
为直角边
上的一点，将
沿直线
折叠至
的位置，使得点
在平面
外，且点在平面上的射影
在线段
上设
，则
的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】
已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为
.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：
是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，四边形ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，且平面ACEF⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点.
（1）证明：BD⊥CH；
（2）若AB=BD=2，AE=
，CH=
，求三棱锥F-BDC的体积.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设有关于
的一元二次方程
．
（Ⅰ）若
是从
四个数中任取的一个数，
是从
三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间
任取的一个数，是从区间
任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】当x∈[0，1]时，下列关于函数y=
的图象与
的图象交点个数说法正确的是（ ）
A. 当
时，有两个交点B. 当
时，没有交点
C. 当
时，有且只有一个交点D. 当
时，有两个交点
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