Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n-1-a_n=2a_na_n-1（n≥2且n∈N）．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足bn=

2n

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足a₁=1，a_n-1-a_n=2a_na_n-1（n≥2且n∈N）．可得

1

an

-

1

an-1

=2，即数列{

1

an

}为等差数列．利用其通项公式即可得出；
（2）利用（1）可得bn=(2n-1)•2n，再利用“错位相减法”即可得出S_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n-1-a_n=2a_na_n-1（n≥2且n∈N）．
∴

1

an

-

1

an-1

=2，
∴数列{

1

an

}为等差数列．
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×2=2n-1．
∴an=

1

2n-1

．
（2）∵bn=(2n-1)•2n，
∴Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，
2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1，
两式相减得-Sn=1×2+2×(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1
=2×（2+2²+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=2×

2×(2n-1)

2-1

-（2n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．