Question

如图，将圆分成n个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a_n.求

(Ⅰ)a₁，a₂，a₃，a₄；

(Ⅱ)a_n与a_n+1(n≥2)的关系式；

(Ⅲ)数列{a_n}的通项公式a_n，并证明a_n≥2n(n∈N^*)．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，不同的染色方法种数a₁=3, 

当n=2时，不同的染色方法种数a₂=3×2=6, 

当n=3时，不同的染色方法种数a₃=3×2×1=6, 

当n=4时，分扇形区域1和3同色与否两种情况，

∴不同的染色方法种数a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18;

（Ⅱ）依次对扇形区域1,2,…,n,n+1染色，不同的染色方法种数为3×2ⁿ,其中扇形区域1与n+1不同色的有a_n+1种,扇形区域1与n+1同色的有a_n种,

∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ(n≥2). 

（Ⅲ）∵a_n+a_n+1=3×2ⁿ(n≥2)

∴a₂+a₃=3×2²

a₃+a₄=3×2³

…

a_n-1+a_n=3×2^n-1

将上述n-2个等式两边分别乘（-1）^k  (k=2,3,…,n-1)再相加,得

a₂+(-1)^n-1a_n=3×2²-3×2³+…+3×(-1)^n-1×2^n-1

∴a₂+(-1)^n-1a_n=3×

a_n=2ⁿ+2·(-1)ⁿ 

从而a_n= 

证明：当n=1时，a₁=3＞2×1

当n=2时，a₂=6＞2×1

当n≥3时，a_n=2ⁿ+2·(-1)ⁿ=(1+1)ⁿ+2·(-1)ⁿ

=1+n+…+n+1+2·(-1)ⁿ

≥2n+2+2·(-1)ⁿ≥2n