Question

已知函数f（x）=．
（1）求函数的定义域；        
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明．

Answer 1

解：（1）对于函数f（x）=，
有＞0，
解可得，x＞3或x＜﹣3，
则函数f（x）=的定义域为{x|x＞3或x＜﹣3}；
（2）由（1）可得，f（x）=的定义域为{x|x＞3或x＜﹣3}，关于原点对称，
f（﹣x）=log_m=log_m=﹣，
即f（﹣x）=﹣f（x），f（x）为奇函数；
（3）根据题意，f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]（3，+∞）．
设x₁，x₂∈[α，β]，且x₁＜x₂，
则x₁，x₂＞3，f（x₁）﹣f（x₂）==
∵（x₁﹣3）（x₂+3）﹣（x₁+3）（x₂﹣3）=6（x₁﹣x₂）＜0，
∴（x₁﹣3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂﹣3）即，
∴当0＜m＜1时，log_m，即f（x₁）＞f（x₂）；
当m＞1时，log_m，即f（x₁）＜f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．